信息技术辅助中考数学压轴题理解的探究

【摘 要】在分析教学软件的特点和学习理论的基础上，利用几何画板对近几年福建省内的数学中考压轴题进行解析，从而实现信息技术与教育的整合.
【关键词】几何画板；中考压轴题；学习理论

引言
1.1 问题提出的背景
　　进入21世纪,信息技术发展迅猛,以知识经济为主导的信息时代已全面到来,同时信息技术也全方位渗透到人们生活的各个层面,教育也包含在内.在这样一个大背景下,几何画板,作为在信息时代下利用计算机辅助中学数学教学的软件,也越来越受到人们的重视和青睐.
　　自19世纪末以来,以克莱因-贝利运动为发端的数学教育改革不断深化,其改革内容由最初的课程内容改革逐渐扩展到教学方法的改革.20世纪40年代以来,伴随着原子能与电子计算机,空间技术和遗传工程等先进的高科技领域的相继出现,同时也给数学教育提出了现代化的要求.但是传统的数学教学内容与教学理论和教学方法已无法适应这一时代发展的需要.在美国,首先兴起了数学教育现代化运动,到20世纪60年代,数学教育现代化运动已经波及到了几乎所有的西方国家.[1]
　　如今,世界各个国家都在研究如何充分利用信息技术提高教学质量和效益的问题,加强信息技术的应用,已经成为各国数学教学改革的重要方向.美国数学教师协会在2000年4月颁发的<<数学课程标准>>中,在数学教育史上第一次把信息技术列入六项基本原理之一.英、法、德、俄、日、新加坡、香港等发达国家和地区在数学课程的大纲中都对计算机等信息技术的应用作了具体的要求.
1.2问题提出的动机
　　长久以来，在人们的思想上一直公认，数学是能够培养并且熏陶人们的逻辑推理能力和分析归纳能力，并且能促进人们的直觉洞察能力的形成于发展.随着新的课程标准的提出，要求教育者把信息技术和数学思想融合到教学中去，几何画板的使用正合乎这个标准.[2]
　　压轴题，一般是指在试卷最后出现的题目，在这类题目中，一般是分数多并且难度大，在题型的设计上具有综合能力强的特点.在考试中，往往就是这类题目能够拉开学生与学生之间的成绩，也是很多老师和学生的重点钻研的题目.
　　　长久以来，在我们国家传统的数学几何课堂教学是“粉笔+黑板”的形式，有时最多拿一些模型，在这样单一的教学模式下，老师很难在黑板上清楚表达问题中的运动着的几何元素之间的连续性的变化，学生很难理解其中的相互关系.另一方面，处于初中的学生，他们正处于从具体形象思维到抽象思维的过渡期，学生的思维在很大程度上还难以脱离具体的事物和生动的表象.如果问题所要求达到的抽象概括能力超出了他们已有的水平，思维自然而然就会中断，从而形成思维障碍，直接导致他们无法继续思考下去.但是传统的教具与教法无法满足学生需要透彻理解问题的要求.[3]
　　　几何画板是一款优秀的教学软件，它适用于数学的解析几何、平面几何、立体几何等得教学，它以点、线、圆为基本元素，通过对这些基本元素的变换、构造、测算、计算、动画、跟踪轨迹等，显示或构造出其他较为复杂图形.[4]越来越多的教师利用这一教学软件将几何图形的运动变化过程和它的数量、位置关系形象直观的展现在学生的面前，这非常有利于学生经历观察、猜测、验证和推理等数学活动，这不仅使几何画板称为老师的演示工具，也使它称为学生的认知工具，能够使学生在动态中理解几何的精髓.

第二章 教学软件及几何画板与数学教学
2.1常见的教学软件
2.1.1Mathematica
　　Mathematica系统是美国Wolfram研究公司开发的一个功能强大的计算机数学系统，也称为符号计算系统.它提供范围广泛的数学计算功能，并支持在各个领域工作的人们所需要的各种计算.它的主要使用者包括从事各种理论工作的科学工作者、从事实际工作的工程技术人员以及各级学校的教师和学生.
　　Mathematica的主要功能包括以下三份方面：符号演算、数值计算和图形技术.例如，它可以做多项式的各种计算（展开、四则运算、因式分解等）；可以求整式方程、有理式方程和超越方程的精确解和近似解；做数值的或一般表达式的向量和矩阵的各种计算；可以求一般函数表达式的极限、导函数、求积分、做幂级数展开、求解某些微分方程等；可以做任意位的整数的精确计算、分子分母为任意非零整数的有理数的精确计算（乘方、四则运算等）以及任意位精确度的数值（实数值或复数值）的计算.使用Mathematica还可以非常方便地作出以各种方式表示的一元和二元函数的图形，可以根据需要自由选择画图的范围和精确度.因此，Mathematica这类系统的出现所带来的思维和解题工具的革新必将对各种需要数学计算和绘制函数图形的工作领域产生深远的影响.
2.1.2几何画板
　　几何画板是美国优秀的教育软件，是美国的Nicholas Jachiw和Scott Steketee设计开发，并由Key Curriculum Press出版公司出品.
　　几何画板是探索几何奥妙的一种新型工具，它不同于其他绘图工具的突出特点就是“它能动态地保持几何关系”，它不仅能够用鼠标拖动选定的目标或者通过定义动画和移动让图形动起来，而且它的精髓还在于“在运动中保持给定的几何关系”.平行线就保持平行线，中点就保持中点.因此，运用几何画板就可以在“变化的图形中，发现恒定不变的几何规律”了.
2.1.3Derive
　　Derive是计算机符号代入系统是总部设在美国夏威夷的Soft Warehouse软件开发有限公司的产品.Derive系统是一个优秀的数学工具软件，它不仅具有很强的数学演算功能，而且具有出色的绘图能力，其图形技术在同类产品中突出.
　　Derive代数系统具有很强烈的数学演算功能，可以完成初等数学、微积分、解析几何和高等代数等大部分运算.Derive系统还有很强的作图能力，而图形功能的重要特点之一是支持作各种函数图形，包括一般显函数的二维、三维图形（平面线、空间线和面），参数形式表示的二维和三维图形等，可以着色、任意旋转.[5]
2.2几何画板的特点
　　几何画板与其他数学教学软件相比，有以下几个优势，使它能够成为数学中的强有力的工具.
　　动态性：用鼠标拖动图形上的任意一个元素（点、线、圆），而事先给定的所有图形的基本性质和几何关系都是保持不变的.如下图：我们可以在几何画板的工作区域上任意取四点，然后用线段把他们连接成为四边形.这时，我们就可以拉动其中的一个点，同时图形的形状也会发生变化，但却依旧保持的是四边形.

　　形象性：在课堂上，当老师说“在直线上任意取一点”时，在黑板上画出的点永远是固定的.但是几何画板就可以让“任意一点”在直线上随意的运动起来，使它更容易被学生接受和理解.
　　操作简单：在几何画板上的一切操作都只是靠菜单和工具栏来实现，并不需要编制任何的程序.在几何画板里，一切都要依靠于几何元素之间的关系来表现，因此，使用它进行课件的设计最关键的是“把握几何元素之间的关系”.
　　制作课件的速度快.在一般情况下，如果设计者有了设计思路的话，制作一个难度适中的课件只需要几分钟的时间.［6］
第三章 理论基础
3.1初中《数学课程标准》理念
3.1.1《国家基础教育课程改革纲要（试行）》
　　2001年7月，教育部颁发的《国家基础教育课程改革纲要（试行）》，明确提出：“大力推进信息技术在教学过程中的普遍应用，促进信息技术与学科课程的整合，逐步实现教学内容的呈现方式、学习的学习方式、教师的教学方式和师生互动的变革，充分发展信息技术的优势，为学生的学习和发展提供丰富多彩的教育环境和有力的学习工具.”[7]
3.2.2《义务教育数学课程标准》
　　在《义务教育数学课程标准》（2011年版）的课程性质中提到，“信息技术的发展对数学教育的价值、目标、内容以及教学方式产生了很大的影响.”数学课程的设计与实施应根据实际情况合理地运用现代信息技术，要注意信息技术与课程内容的整合，注重实效.要充分考虑信息技术队数学学习内容和方式的影响，开发并向学生提供丰富的学习资源，把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的有力工具，有效地改进教育学的方式，使学生乐意并有可能投入到现实的、探索性的数学活动中去.
3.2相关的学习理论
3.2.1学习目的论
　　人们学习的最终目的是为了生存,为了求得一己生存的空间,恩门必须在主要依赖环境的前提下通过学习而求得自身的发展.为了能够使自身通过学习而达到求生的目的,学习者首先应具备学习需要,其次是学习的动机和理想.
　　学习需要
学习需要的层次大致可以分为三个:
求生的需要
　　求生的学习需要主要是指学习赖以生存所须具备的生产和生活本领的欲望.它是人类最基本的低层次的学习需要.它包括学习人类一般的生活本领,学习生活劳动技能以及学习社会行为规范.
　　求知的需要
　　求知的学习需要即学习文化科学知识的需要.它包括学校求知,自学求知和终身求知.
　　发展的需要
　　发展的学习需要是人类高层次的学习需要.它包括个体发展的学习需要,创造中的学习需要以及探索中的学习需要.
　　以上的三个层次的血虚需要是逐步增加的,既有区别又有联系,绝不是互相独立的,它们之间互相渗透,互相促进.
　　学习动机
　　学习动机就是引起和支持以及激励学习者从事学习从而达到一定目的的内在动力.
　　(1)生存型的学习动机
　　它包括为了自身和为了国家以及为了全人类三个方面的生存动机
　　精神型学习动机
　　它包括为了自我实现的学习动机和为了爱人的学习动机及求知与好奇的学习动机.
　　学习理想
理想是人对于未来所寄予的某种希望或对于某种超前境界的向往或设想.理想能为学习者指引学习的目标,并鼓励学习者为达到目标而奋斗.学习理想是靠学习者的理念来支持的,只有意志坚定,采油可能实现学习理想.
3.2.2数学问题解决的移化归策略
　　数学问题解决的移植化归策略是数学教学中解决复杂问题的一种较有效的策略.它从转化问题解决的角度来解决嗜血问题，使得复杂的问题得以简单化，也能够通过数学问题解决培养学生思维的灵活性和变通性.
　　移植策略侧重于转化领域解决问题，化归策略侧重于转化角度解决问题，最后再还原问题.
移植策略
　　17世纪法国杰出的数学家、物理学家、解析几何的创始人德斯卡特斯（Dwscartes）在他的第一部著作《指导思维的法则》中，提出了一个试图适用于所有类型问题的解题模式：
　　第一，将任何种类的现实问题转化为数学问题；
　　第二，将任何种类的数学问题转化为代数问题；
　　第三，将任何代数问题转化为单个方程的求解问题.
　　这种“德斯卡特斯模式”的过程可用下列图形来加以表示：
　　 实际问题 数学问题 代数问题 方程 解
　　　在解析几何中，我们引入指教坐标系后，坐标平面上的点与数对，曲线与方程时一一对应的.因此，我们可以将图形间的几何关系转化为用代数关系表示，从而就能通过代数运算解答几何问题.我们用下面的图表示这种数学思想方法的过程：
　　　
　　　 建立坐标系，化曲线为方程

　　　几 代
何 数
　　　方 （难） 方 （易）
　　　法 法
通过方程讨论曲线

化归策略
　　在解决比较困难的数学问题时，我们可以转化角度，从另外一个角度去考虑相应的解答，使其转化为在其他领域是属于比较简单的问题，在此领域进行解决之后再还原为原来领域的解答，这种策略叫做化归策略.[8]
3.2.3几何认知过程
　　Duval（1998）将几何的认知过程分为三个阶段，分别是：视觉过程、构图过程和推理过程，这三个过程可独立操作但又紧密连接，相互支持.
　　视觉过程
　　对于图形表征的认知，包括单纯表象图形（线条与形状的组织体）的辨认、几何意义（平行、垂直、等距、等积、共圆等）的洞察，或是根据文字叙述进行的图形再现，包括解决动态几何问题过程中所画的图形，都必须先经过这个过程.当图形呈现早眼前时，即唤起知觉性的了解，先确立形体的维度，再进一步理解图形带来的可能的暗示，理解者变更图形的方式可为：（1）分解组合图形；（2）放大缩小图形；（3）平移旋转图形等，这三种方式即可在头脑中操作，也可实际地变动.当辨识出图形与其子图形之间的关系时，可从中思考可能的解题方式.
　　构图过程
　　在构图或是描述图形结构的过程中，必须理解图形的结构（构成方式），在利用作图工具对图形再制的过程中，学生通常比较容易发现图形中的几何意义，以及其中涉及到的原理和关系.在构图的过程中，图形的不同组件会依次浮现，更有助于认清图形与子图之间的关系.