0 引言
倒立摆系统是复杂的多变量非线性系统，而且由于各种干扰及建模中的不确定项，使系统不容易达到控制要求。在众多控制方法中反演滑模控制是一种用于处理不确定性非线性系统的有效方法，它采用递归设计，解决了非线性系统的鲁棒控制问题。文献[1]利用反演滑模实现了自动直升机控制；文献[2] 利用自适应反演滑模解决了不确定混沌同步问题；文献[3]利用自适应反演滑模实现了自主水下航行器轴向运动控制。
在倒立摆控制中，文献[4]采用反演控制实现了倒立摆的稳定控制，但没考虑不确定项带来的影响；文献[5]利用RBF神经网络学习不确定项的上界值，但神经网络计算量比较大，而且初始值的选择对控制效果影响明显。本文针对倒立摆系统的特点，提出了一种终端反演滑模控制方法。在反演控制的第二步，采用终端滑模取代传统的线性滑模，使误差能在有限时间内收敛到零。同时，利用非线性干扰观测器实现干扰估计及前馈补偿，有效降低控制抖振，提高控制精度。仿真结果表明，该方法对倒立摆系统控制具有较强的鲁棒性、较快的响应速度以及较高的精度。
1非线性干扰观测器
基于干扰观测器的控制方法通过对干扰进行估计及前馈补偿，大大降低了滑模控制中的切换增益，从而有效较低了抖振；而且该方法易于实现，在很多领域有所应用[6,7,8]。常用的干扰观测器有线性和非线性干扰观测器，基于神经网络的干扰观测器、基于模糊的干扰观测器等；其中非线性干扰观测器，可以通过选取合适的参数，使观测器指数收敛，并且计算中避免了求导运算，能很好的跟踪干扰。
假设一般的非线性控制系统为
(1)
其中， 为系统状态， 为外部干扰， 为系统不确定部分。将式（1）重新写为：
（2）
包含不确定部分和外部干扰。
由（2）式可得
（3）
干扰观测器可设为简单的常微分方程：
（4）
假设参数不确定部分及外部干扰变化缓慢，则
定义干扰观测器误差为： ，则
（5）
可见，通过选择合适的 可以使误差渐进趋于零。
为了消除（4）式中的 项，可定义一辅助变量 ，求辅助变量关于时间的导数，并整理得:
取 ，则得：
（6）
（7）
干扰估计值的计算过程为：首先选定合适的 ，然后由 确定 ，再由（6）式计算出 ，最后通过（7）式求得估计干扰值。
2反演终端滑模控制
反演控制的基本思想是通过反复选择合适的状态空间函数作为其中间虚拟控制量，每个反推过程结果将产生一个基于先前过程的控制量及Lyapunov函数。当迭代终止时，控制系统即可获得实际控制器输入。终端滑模方法可以使系统状态在有限时间内收敛为零，改变了普通滑模控制在线性滑模面条件下状态渐近收敛的特点[9]。本文将两种方法结合在一起，使系统响应时间较短，鲁棒性好，削弱抖振的效果明显。
单级倒立摆的动态方程如下[10]：
（8）
其中， 和 分别为摆角和摆速； ， 为小车质量， ； 为摆杆质量， ； 为摆长的一半， ； 为控制输入。
考虑不确定项及干扰因素，可以将式（8）表示为如下系统：
（9）
将采用干扰观测器后系统的第2个子系统可以写成
（10）
其中， 为反馈控制， 为前馈补偿控制， 。可见进行干扰补偿以后，干扰量大大降低。
定义系统的误差为：
（11）
（12）
式中： 为指令信号， 为待设计的第一个子系统的虚拟控制量，取为：
， （13）
第一个子系统误差的动态方程为
定义Lyapunov函数， ，
如果能使 快速趋近于零，第一个子系统也是稳定的。
第二个子系统误差的动态方程为
定义终端滑模面
（14）
式中: a、b > 0; q、p 为正奇数, 且满足 。 则，
设计控制律为
（15）
其中， ，
定义Lyapunov函数
对 求导得：
(16)
将式（15）代入式(16)得：
可见，采用如式（15）的控制律，系统是稳定的。
为了使s在有限时间内收敛到零，从而提高误差系统的收敛速度和稳态跟踪精度，采用终端滑模面，对式（14）求导可得 ，解微分方程可得 收敛到零的时间为：
通过合理选择 ， ， ， 等参数，可以使 在有限时间内收敛到零。 收敛的越快，系统越快的进入稳定状态，从而能提高系统的响应速度和精度。
3倒立摆控制仿真
本文利用simulink实现倒立摆的稳定控制，仿真结构见图1。其中s函数文件terminalcontrol用于实现反演终端滑模控制，s函数文件plant用于实现倒立摆数学模型，s函数文件dob用于实现非线性干扰观测器，s函数文件jisuan用于实现干扰补偿。取位置指令 ，仿真参数， ， ， ， ， ， ， ， ，干扰上限 。
1）取干扰信号为 的时变信号仿真。仿真结果如图2所示。采用反演滑模控制的摆角会随着干扰有较明显的波动，而采用反演终端滑模控制后，摆角的波动几乎为零。可见反演终端滑模控制能有效的提高控制精度。另外，非线性干扰观测器能较好的跟踪时变干扰信号，为实现干扰补偿提供了有力的支持；两种方法的控制输入基本相同。
2）在仿真时间s=5时加一幅值为5的阶跃干扰信号进行仿真。仿真结果如图3所示。采用反演终端滑模控制摆角的波动明显小于反演滑模控制；非线性干扰观测器也能较好的跟踪突变干扰信号；两种控制方法的输入基本相同。
4总结
本文结合反演滑模对参数不确定性非线性系统的鲁棒控制以及终端滑模的快速收敛性，在反演滑模控制的最后一步，采用终端滑模取代传统的线性滑模，使误差能在有限时间内收敛到零，并通过Lyapunov函数证明了稳定性。同时，通过非线性干扰观测器实现对干扰的准确估计，通过合理的选取设计参数 ，可以使干扰估计误差以指数趋近于零, 并将估计的干扰用于前馈补偿控制，以提高系统的抗干扰性能。图2、图3的仿真结果可以看出，设计的干扰观测器能较好的估计干扰。由仿真结果可知，基于干扰补偿的反演终端滑模控制对于突加的外部干扰以及时变干扰信号，都具有较强的鲁棒性以及较高的控制精度。
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